Aljabar Linear

  Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) Sistem persamaan linear dua variabel adalah sistem persamaan linear yang terdiri dari dua persamaan dimana masing-masing persamaan memiliki dua variabel. Contoh SPLDV dengan variabel x dan y : Penyelesaian SPLDV Penyelesaian SP:DV bertujuan untuk menentukan nilai yang memenuhi kedua persamaan yang ada pada SPLDV. Penyelesaian SPLDV terdapat beberapa cara, yaitu: Metode grafik Pada metode grafik ini, langkah-langkah yang dilakukan pertama adalah menentukan grafik garis dari masing-masing persamaan kemudian menentukan titik potong dari kedua garis. Titik potong dari kedua garis tersebut adalah penyelesaian dari SPLDV. Contoh soal :

Basis Ortonormal dan Proses Gram-Schmidt Himpunan vektor-vektor dalam ruang hasilkali dalam disebut sebagai   Himpunan Ortogonal , jika setiap pasangan vektor yang berbeda dalam himpunan tersebut saling ortogonal (tegak lurus).  Himpunan ortogonal yang setiap vektornya memiliki norma 1 disebut Ortonormal. Dengan kata lain {v1, v2,..., vn} dari vektor-vektor di V adalah ortonormal apabila <Vj, Vk> = 0, j  tidak sama dengan  k <Vj, Vk> = 1, j = k j, k = 1, 2,...,n Syarat Himpunan Ortonormal : Contoh Soal :  Penyelesaian :                PROSES GRAM-SCHMIDT  Proses Gram-Schmidt merupakan salah satu cara untuk mengkonversikan suatu basis sebarang menjadi sebuah basis orthogonal dan juga ortonormal. Proses ini sangat penting dan seringkali digunakan dalam aplikasi matematika, khususnya aljabar linear dan analisis numerik.

Ruang Baris, Ruang Kolom, Ruang Null

  ELEMENTER Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Nul Definisi misalkan matriks m x n: Pada R n  yang dibentuk dari baris – baris Matriks A disebut sebagai vektor baris. Sedangkan vektor – vektor. Pada R m  yang dibentuk dari kolom – kolom matriks A disebut sebagai vektor kolom.   Definisi Jika A adalah matrik m x n maka subruang dari R n  yang di rentang oleh vektor – vektor baris dari A disebut ruang baris dari A, dan subruang dari R m  yang direntang oleh vektor – vektor kolom dari A disebut ruang kolom dari A. Ruang solusi dari sitem persamaan yang homogen Ax = 0 yang merupakan subruang dari R n  disebut ruang null dari A.   Teorema  Jika A dan B adalah matriks – matriks yang ekuivalen baris, maka a. Sesuatu himpunan vektor – vektor kolom dari A tertentu adalah bebas linear jika dan hanya jika vektor – vektor kolom yang bersusuaian dari B adalah bebas linear. b. Sesuatu himpunan vektor – vektor kolom yang dari A tertentu membentuk suatu bas...

  TRANSFORMASI LINEAR Misalkan V dan W adalah ruang vektor, T : V  à  W dinamakan transformasi linear, jika untuk setiap

  DIAGONALISASI Matrix bujur sangkar A dikatakan dapat didiagonalisasi jika terdapat matrik P yang mempunyai invers sedemikian rupa sehingga, P -1 AP adalah matrix diagonal. Matrix P dikatakan mendiagonalisasi A Langkah-langkah menentukan matrix P dan D adalah Sebagai berikut : 1. Hitung persamaan karakteristik A nilai eigen 2. Carilah n vektor eigen bebas linear A sesuai nilai eigen p 1 , p 2 , …, p n 3. Bentuklah  matrix P = [p 1 , p 2 , …, p n ] dan hitunglah P -1 4. Hitung D = P -1 AP dengan diagonal utama Contoh :  Vektor eigen dan nilai eigennya Contoh : Carilah nilai eigen, Vektor eigen dan matrik yang mendiagonalisasi matrik A, bilamana Jawab : 1. Nilai = (( l  + 1).( l  - 4).( l  - 3)) + (-4.0.3) + (2.3.-1) – (3( l  - 4).2) – (-1.0( l  + 1) – (( l  - 3).3.-4) = (( l 2  - 3 l  - 4) ( l  - 3)) – 6 – 6 l  + 24 + 12 l  - 36  =  l 3  - 6 l 2  + 11 l  - 6 ( l  - 2) ( l 2  - 4 l ...