Diagonalisasi

 DIAGONALISASI

Matrix bujur sangkar A dikatakan dapat didiagonalisasi jika terdapat matrik P yang mempunyai invers sedemikian rupa sehingga, P-1AP adalah matrix diagonal. Matrix P dikatakan mendiagonalisasi A

Langkah-langkah menentukan matrix P dan D adalah Sebagai berikut :

1. Hitung persamaan karakteristik A nilai eigen

2. Carilah n vektor eigen bebas linear A sesuai nilai eigen p1, p2, …, pn

3. Bentuklah  matrix P = [p1, p2, …, pn] dan hitunglah P-1

4. Hitung D = P-1AP dengan diagonal utama

Contoh : 

Vektor eigen dan nilai eigennya

Contoh :

Carilah nilai eigen, Vektor eigen dan matrik yang mendiagonalisasi matrik A, bilamana

Jawab :

1. Nilai

= ((l + 1).(l - 4).(l - 3)) + (-4.0.3) + (2.3.-1) – (3(l - 4).2) – (-1.0(l + 1) – ((l - 3).3.-4)

= ((l2 - 3l - 4) (l - 3)) – 6 – 6l + 24 + 12l - 36 

= l3 - 6l2 + 11l - 6

(l - 2) (l2 - 4l + 3) = 0

(l - 2) (l - 3) (l - 1) = 0

Persamaannya adalah l1 = 1, l2 = 2, l3 = 3, inilah nilai eigen matrik A

 

2. Vektor

(l|-A)x = 0

Untuk l = 1, diperoleh SPL

1. 3x1 – 3x2 = 0

                         3x1 = 3x2 à missal x2 = t

                           x1 = t

2. 2x1 – 4x2 + 2x3 = 0

                                   2x3 = -2t + 4t

                                   2x3 = 2t

                                     x3 = t

Jadi vektor eigen untuk l = 1 adalah P1 = [1,1,1]

Untuk l = 2, diperoleh SPL

1. 3x1 – 2x2 = 0

                         3x1 = 2x2 à missal x2 = 3t

                         3x1 = 6t

                           x1 = 2t

2. 3x1 – 4x2 + 2x3 = 0

                                   2x3 = -6t + 12t

                                   2x3 = 6t

                                     x3 = 3t

Jadi vektor eigen untuk l = 2 adalah P1 = [2,3,3]

Untuk l = 3, diperoleh SPL

1. 3x1 – x2 = 0

                      3x1 = x2 à missal x2 = 3t

                       3x1 = 3t

                         x1 = t

2. 4x1 – 4x2­­ + 2x3 = 0

                                   2x3 = -4t + 12t

                                   2x3 = 8t

                                     x3 = 4t

Jadi vektor eigen untuk l = 2 adalah P1 = [1,3,4]

3. Matrik P yang mendiagonalisasi A adalah :

Mencari P-1

Matrik diagonal

Diagonalisasi Ortogonal

Matrik bujur sangkar A dikatakan dapat diagonalisasi secara orthogonal jika terdapat matrik P yang orthogonal sedemikian rupa sehingga, P-1 AP (=PTAP) adalah matrik diagonal (elemen matrik D adalah nilai eigen matrik A). Matrik P dikatakan mendiagonalisasi A secara orthogonal.

Jika A adalah matrik nxn, maka pernyataan, berikut ekivalen yakni :

1. A dapat didiagonalisasi secara ortologi.

2. A matrik simetris

3. A mempunyai himpunan ortonormal n vektor eigen

Langkah – Langkah menentukan matrik P adalah sebagai berikut :

1. Carilah n vektor eigen A yang bebas linear, x1, x2, …, xn.

2. Terapkan proses Gram-Schmidt untuk membentuk basis ortonormal, dari vektor basis pada Langkah (1).

3. Bentuk matrik P dari Langkah (2), yakni P = [p1, p2, …, pn]

Contoh:

Carilah matrik orthogonal P yang mendiagonalisasi

Jawab:

Nilai

Jadi nilai eigen A adalah l = 2 dan l = 8

Vektor

Membentuk basis untuk ruang eigen yang bersesuaian dengan l = 2. Dengan menerapkan proses Gramm – Schmidt terhadap {u1, u2} akan menghasilkan vektor – vektor eigen ortonormal.

Ruang eigen yang bersesuaian dengan l = 8 mempunyai

Sebagai basis. Dengan menerapkan proses Gramm – Schmidt terhadap {u3} maka akan menghasilkan

Akhirnya, dengan menggunakan u1, u2, dan u3­ sebagai vektor – vektor kolom maka kita dapatkan

Yang akan mendiagonalisasi A secara orthogonal. (Sbagai pemeriksaan, anda bisa membuktikan bahwa PT AP adalah matrik diagonal).