Elementer

 ELEMENTER

Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Nul

Definisi

misalkan matriks m x n:

Pada Rn yang dibentuk dari baris – baris Matriks A disebut sebagai vektor baris. Sedangkan vektor – vektor.

Pada Rm yang dibentuk dari kolom – kolom matriks A disebut sebagai vektor kolom.

 

Definisi

Jika A adalah matrik m x n maka subruang dari Rn yang di rentang oleh vektor – vektor baris dari A disebut ruang baris dari A, dan subruang dari Rm yang direntang oleh vektor – vektor kolom dari A disebut ruang kolom dari A. Ruang solusi dari sitem persamaan yang homogen Ax = 0 yang merupakan subruang dari Rn disebut ruang null dari A.

 

Teorema

 Jika A dan B adalah matriks – matriks yang ekuivalen baris, maka

a. Sesuatu himpunan vektor – vektor kolom dari A tertentu adalah bebas linear jika dan hanya jika vektor – vektor kolom yang bersusuaian dari B adalah bebas linear.

b. Sesuatu himpunan vektor – vektor kolom yang dari A tertentu membentuk suatu basis untuk ruang kolom dari A jika dan hanya jika vektor – vektor kolom yang bersesuaian dari B membentuk suatu basis untuk ruang kolom dari B.

 

Jika suatu matriks R berada dalam bentuk eselon baris, maka vektor – vektor baris dengan 1 utama membentuk suatu basis untuk ruang baris dari R dan vektor – vektor kolom dengan 1 utama dari vektor – vektor baris membentuk suatu basis untuk ruang kolom dari R.

 

Jika A adalah matrik sebarang, maka ruang basis dan ruang kolom dari A memiliki dimensi yang sama.

Definisi

Dimensi umum dari ruang baris dan kolom dari suatu matriks A disebut rank dari A (notasi : rank (A)), dimensi ruang nul dari A disebut sebagai nulitas dari A (notasi : nulitas (A)).

 

Teorema

Jika A adalah matriks dengan n kolom, maka

rank (A) + nulitas (A) = n

rank (A) = n – rank (A)

rank (A) = n – nulitas (A)

Perhatikan kolom – kolom pada matriks hasil OBE, matriks A mempunyai basis ruang kolom yaitu :

Basis ruang baris diperoleh dengan cara, mentransposkan terlebih dahalu matriks A, lakukan OBE pada A1, sehingga diperoleh:

Kolom – kolom pada hasil OBE yang memiliki satu utama bersesesuaian dengan matriks At ini berarti. Matriks A tersebut mempunyai basis ruang basis:

rank (A) = 2

nutilas (A) = n – rank(A)

                  = 4 – 2

                  = 2

Contoh :

Diberikan SPL homogen :

          2p + q – 2r – 2s = 0        

          p – q + 2r – s     = 0        

          -p + 2q – 4r + s = 0

          3p – 3s             = 0

p – 5   = 0   => p = 5

q – 2r  = 0  => q = 2r

misalkan

          s = a, r = b

          p = a

          q = 2b         

Solusi SPL homogen tersebut adalah:

nutilas (A) = 2

rank (A) = 2

rank (A) + nutilas (A) = n

2 + 2 = 4

Dimensi dari basis ruang solusi dinamakan nulitas. Dengan demikian, nulitas dari SPL diatas adalah 2