Basis & Dimensi

 Basis & Dimensi

Ruang -N Euclides

Operasi-Operasi pada ruang vektor Euclides:

›  Penjumlahan

›  Perkalian dengan skalar Riil sebarang (k)

›  Perkalian Titik (Euclidean inner product)

›  Panjang vektor didefinisikan oleh :

 

›  Jarak antara dua vektor  didefinisikan oleh : 

Contoh :

                Diketahu   dan  

Tentukan panjang vektor dan jarak antara  kedua vektor tersebut

Jawab: 

Panjang vektor :

 

Jarak kedua vektor

 

Ruang Vektor Umum

Misalkan    dan k, l ÎRiil

V  dinamakan ruang vektor jika terpenuhi aksioma :

1. V  tertutup terhadap operasi penjumlahan.

    Untuk setiap    

2.  

3. 

4. Terdapat  sehingga untuk setiap berlaku 

5. Untuk setiap   terdapat   sehingga 

6. V  tertutup thd operasi perkalian dengan skalar. Untuk setiap   dan k Î Riil  maka 

7.                           

8.                      

9.                            

10. 

Sub Ruang Vektor

Misalkan W merupakan subhimpunan dari sebuah ruang vektor V.

W dinamakan subruang (subspace) V  jika W  juga merupakan ruang vektor yang tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar.

Syarat W disebut subruang dari V adalah :

1. W  ¹ { }

2. W  Í  V

3. Jika     maka  

4. Jika  dan k Î Riil maka